WEBridge Magazine n° 02
Les probabilités
au jeu de bridge

" Questions de principe "

Choix de la meilleure ligne de jeu au bridge

par Robert LABOUZE

Annexe

Application du théorème de BAYES

On a recours au théorème de BAYES, pour le calcul des probabilités a posteriori, dont on a calculé, subjectivement une probabilité d'existence a priori que l'on souhaite affiner en tenant compte d'une information donnée par la survenance d'événements liés à l'existence de telle ou telle situation.

Une probabilité a priori se calcule de la manière suivante : à partir d'une situation donnée, on déduit en faisant le rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles, la probabilité a priori que tel événement se produira.

 

Une probabilité a posteriori se calcule de la manière inverse suivante : à partir de la survenance d'un événement donné, on s'efforce d'induire la probabilité que c'est telle situation qui a donné naissance à cet événement .

C'est l'information, donnée par la survenance de l'événement,

qui vient modifier la probabilité a priori en réduisant l'incertitude initiale.

 

Situations
Mains

Ouest / Est
Probabilité

a priori
Probabilité

Conditionnelle
Probabilité

Composée
Probabilité

a posteriori

.
(1)
(2)
(3)
(4) = (2) * (3)
(6) = (4) / (5)

.
n
S = n
P (S = n)
P (Z=R / S=n)
Pn(Z=R)
P (S=n / Z=R)

1
xx / RD
1 / 4
1 / 2
1/4 * 1/2 = 1/8
1 / 3
2
Dx / Rx
1 / 4
1
1/4 * 1 = 1/4
2 / 3
3
Rx / Dx
1 / 4
0
1/4 * 0 = 0
0
4
RD / xx
1 / 4
0
1/4 * 0 = 0
0

.

.(5)
S Pn(Z=R)
S P (S=n / Z=R)

.
= 3/ 8
= 1

Commentaires du tableau

1) S = n

Nous sommes en présence de 4 situations possibles :

S = 1 ……………..xx / RD

S = 2 ……………..Dx / Rx

S = 3 ……………..Rx / Dx

S = 4 ……………..RD / xx

2) P (S = n)

Ces 4 situations seront supposées, a priori, aussi probables l'une que l'autre, d'où la même probabilité pour chacune d'elles

P (S = 1) = P (S = 2) = P (S = 3) = P (S = 4) = 1/4

3) P (Z = R / S = n)

 

Cette probabilité conditionnelle est la probabilité de voir apparaître par ex. le Roi, sachant que l'on se trouve dans la situation " n ".

La probabilité de voir apparaître, en Est, par ex. le Roi à la première manœuvre est :

a) P (Z = R / S = 1) = 1/2

SI L'ON SUPPOSE QUE, avec LE ROI et LA DAME,

EST METTRA 1 fois sur 2 le ROI et 1 fois sur 2 la DAME

b) P (Z = R / S = 2) = 1

DANS CE CAS, EST METTRA TOUJOURS LE ROI

c) P (Z = R / S = 3) = P (Z = R / S = 4) = 0

DANS CE CAS, EST NE METTRA JAMAIS LE ROI

4) Pn (Z = R)

 

Cette probabilité composée est la probabilité de voir apparaître par ex. le Roi, sachant que l'on se trouve dans la situation " n ".

La probabilité de voir apparaître en Est par ex. le Roi dans une situation donnée " n " est égale au produit

de la probabilité a priori P ( S=n ) de la situation " n "

par la probabilité conditionnelle P (Z=R / S=n) de voir apparaître le Roi, si l'on se trouve dans la situation " n ".

Pn (Z = R) = P (S = n) * P (Z = R / S = n)

P1 (Z=R) = 1/4 * 1/2 = 1/ 8

P2 (Z=R) = 1/4 * 1 = 1/ 4

P3 (Z=R) = P4 (Z=R) = 1/4 * 0 =0

5) S Pn(Z = R)

 

C'est la somme des probabilités composées précédentes,

c'est-à-dire la probabilité de voir apparaître par ex. le Roi et ce , quelle que soit la situation " n " :

 

S Pn (Z=R) = 1/8 + 1/4 + 0 + 0 = 3/8

 

Cette probabilité est inférieure à 1/ 2, car le joueur placé en Est ne montrera pas toujours le Roi, lorsqu'il aura à la fois le Roi et la Dame

( 1 fois sur 2 il le montrera : telle est l'hypothèse faite )

6) P (S = n / Z = R)

 

C'est la probabilité a posteriori de la situation " n ", sachant que le Roi est apparu à la première manœuvre.

 

Si le Roi est apparu à la première manœuvre, la probabilité que la situation réelle soit :

S = 1 ( xx / RD ) est de :

P1 (Z= R) / S Pn (Z = R) = 1/8 : 3/8 = 1/3

 

S = 2 ( Dx / Rx ) est de :

P2 (Z= R) / S Pn (Z = R) = 1/4 : 3/8 = 2/3

 

La situation n = 2 a donc deux fois plus de chances d'être la situation réelle que la situation n = 1

CONCLUSION

La deuxième impasse a donc 2 chances sur 3 d'être gagnante.

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