Les
probabilités
Les
probabilités
Choix de la meilleure ligne de jeu au bridge
par Robert LABOUZE
I - Introduction
1° ) Premier exemple
J'ai 2 enfants dont l'un est un garçon. Quelle est la probabilité pour que l'autre soit une fille ? 1/ 2 ou 2/ 3 ?
- 2/ 3, bien sûr, car il y a 2 cas favorables ( Garçon - Fille et Fille - Garçon) pour 3 cas possibles ( Garçon - Fille, Fille - Garçon et Garçon - Garçon) ;
- 1/ 2, si j'avais précisé que l'aîné était un garçon ; 1 cas favorable ( GF ) pour 2 cas possibles ( GF et GG )
2° ) Deuxième exemple
( Cf Dossier sur le Hasard de la revue " Pour la science " Avril 1996 &endash; pages 96 et suivantes " Une stratégie aléatoire surprenante " de Ian Stewart )
Je dispose de 3 boîtes noires A, B et C. A l'intérieur de l'une d'elles, je dépose en cachette l'As de cœur et je vous demande de deviner la boîte dans laquelle se trouve cette carte. Imaginons que vous choisissiez la boîte A : si après avoir fait votre choix, je vous affirme que la carte ne se trouve pas dans la boîte C, maintiendriez-vous votre choix initial ( Probabilité 1/ 3) ou choisirez-vous maintenant la boîte B ?
En choisissant la boîte A, vous aviez 2 chances sur 3 de vous tromper ; en maintenant votre choix initial, vous avez toujours 2 chances sur 3 de vous tromper.
En reportant votre choix sur la boîte B, vous avez donc maintenant le complément à 100 %, soit 2 chances sur 3, d'avoir raison.
Il faut donc modifier votre choix initial avec la probabilité 2/ 3 de deviner juste.
3° ) Si le résultat du 1er exemple vous semble évident après coup, il n'en est peut-être pas de même du 2ème exemple.
En effet, celui-ci pose le problème de l'intégration dans le raisonnement de l'information supplémentaire fournie. Ne pas prendre en compte cette information, c'est choisir dans l'incertitude complète initiale alors que celle-ci a été réduite.
Appliquons cela au choix de la meilleure ligne de jeu au bridge
II - Position du problème
V 10 x
x x x
x x x
A D x x
A R D x x
A V 10
A D x
x x
Plan de jeu : On dénombre 8
levées immédiates, sur l'entame
.
Avec 2 entrées seulement
utilisables au mort ( V et 10 de
) , où trouver la 9ème levée avec les
meilleures chances de réussite ?
III - Les 3 options avec leur probabilité A PRIORI
Option A
Tenter successivement une
1ère impasse au R (ou D) de ,
puis une 2ème impasse à la D (ou R) de
Prob. a priori = nb de cas favorables ( = 3 ) / nb de cas possibles ( = 4 ) = 3 / 4 = 75 %
Option B ( pour mémoire )
Tenter successivement une
1ère impasse au R (ou D) de ,
puis une 2ème impasse au R de
ou
au R de
Prob. a priori = 25 % + 75 % x 50 % = 62,5 %
Option C
Tenter successivement les
2 impasses au R de
et
au R de
Prob. a priori = 50 % + 50 % x 50 % = 75 %
IV - Choix de l'option optimale entre A et C
1 ) Quelle que soit l'option choisie, si la 1ère impasse réussit, le problème est résolu.
2) Supposons donc que la 1ère
impasse échoue, avec un retour à
par exemple.
a) Si cette première impasse se
fait au R (ou D) de
,
La question est maintenant de savoir si les 2 options A et B , bien que non équivalentes A PRIORI, sont devenues équivalentes après la 1è manoeuvre qui est supposée avoir échouée.
Option B : La probabilité a posteriori de la deuxième manoeuvre ( indépendante de la première ) est toujours égale à 1/2.
Option A : Par contre, la
probabilité a
posteriori de la 2è manoeuvre
( liée à la 1ère ) est maintenant de 2/ 3 (Cf
annexe pour la justification de cette probabilité) ; donc, la
2è impasse à la D (ou R) de
(probabilité a posteriori = 2/3) est préférable
à la 2è impasse au R de
(ou au R de
)
(Probabilité a posteriori toujours égale à
1/2).
b) Si cette première impasse se
fait au R de
(ou au R de
),
la probabilité de la 2è impasse indépendante de
la 1ère est toujours égale à 1/2.
Donc, l'option A, équivalente a priori (Probab. = 3/4) à l'option C, devient préférable à l'option C si l'on considère la probabilité a posteriori de la seule 2è manœuvre.
V - Conclusion
Un déclarant, en présence d'une couleur C1 sans le Roi et la Dame, ayant besoin de 2 levées pour réussir son contrat, devra, après avoir tenté une première impasse infructueuse, renouveler l'impasse dans cette même couleur (Prob. = 2/ 3) plutôt que de tenter une impasse dans une autre couleur C2 (Prob. = 1/ 2) ou bien de délaisser cette couleur C1 pour tenter 2 impasses dans 2 autres couleurs C2 et C3.
N.B. : Certains bridgeurs appellent cela le principe du libre choix ou le principe du moindre choix. Appelons cela plutôt le principe du choix optimal.
On trouvera en annexe ( pour les matheux ) la démonstration de cette affirmation, par application du Théorème de BAYES.
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