(Suite de l'article paru dans le WBM 6 à l'adresse http://www.webridge.fr/33/WBM06/340_art_f_06.htm)

Question posée par Patrick Olgiati le 14/03/01 à 21:29:56 sur la liste "webridge2" ([email protected])

Quel éminent mathématicien ( pléonasme!) peut éclairer ma lanterne sur le sujet suivant: Question 1 : Probabilité, sur une donne distribuée au hasard, pour qu'une main ait : a) un singleton - b) une chicane Question 2 : Probabilité pour que deux des quatre mains aient un singleton ou une chicane Question 3 : Probabilité pour qu'aucune des quatre mains n'ait de singleton ni de chicane .... ou plus simplement , pourcentage de donnes répondant à ces différents critères.

Premières réponses données aux questions 1 et 2 par Philippe Menjon le 15/05/01 à 18:42:53

Réponse à la Question 1 : Je suis d'accord avec la réponse proposée, s'agissant d'une main précise (disons celle de Nord, sans préjuger du contenu des 3 autres). Juste un petit détail, je crois qu'il faut retirer aussi les mains 7-5-1-0 du cumul, les % à partir de 8-4-1-0 devenant négligeables.

Réponse à la Question 1bis formulée de la manière suivante : Probabilité d'avoir au moins une des 4 mains avec une chicane ou un singleton = (100 % - Prob. d'avoir 4 mains régulières), alors que la probabilité d'avoir exactement une des quatre mains avec un singleton et une chicane est extrêmement compliquée, ou plutôt fastidieuse à déterminer.

En ce qui concerne la réponse à la Question 2, l'ennui est que la composition de la 1ère main influe sur les probabilités de répartition de la 2ème, etc, raison pour laquelle je ne suis pas d'accord avec les réponses de l'article ... Or, si l'on peut établir des conclusions quand les 4 mains sont de même nature (cas de la question 3), c'est-à-dire soit toutes régulières ou toutes irrégulières, il n'en va pas de même avec deux mains de chaque sorte. J'entends par là que dès qu'aucune des 2 premières mains ne comporte de couleur 10 ème (ce qui exclut peu de cas), il faut effectuer des calculs supplémentaires, et ce qu'on ait 2 mains initiales régulières, irrégulières ou une de chaque. Par exemple, avec les 2 premières mains réparties 7-6-0-0, il est encore possible d'avoir 2 mains régulières et donc de rentrer dans le cas prévu.

Réponse à la Question 3 donnée par Philippe Menjon le 03/07/01 à 00:06:16

Probabilité d'avoir 4 mains régulières ou semi-régulières (donc toutes les mains sans singleton ni chicane sauf la répartition 7222, en d'autres termes celles qui ne comptent pas plus d'un point D dans la même couleur).

Méthode de calcul utilisée

Pour chaque répartition initiale sans singleton, j'ai calculé la probabilité d'obtenir chacune des répartitions sans singleton dans la 2ème main, ainsi que le nombre de cartes restantes dans chaque couleur une fois ces deux mains établies, en me restreignant aux cas où les mains restantes peuvent être régulières (concrètement, il reste au moins 4 cartes par couleur). Par exemple, une première main 4432 et une seconde 4333 peuvent utiliser 8,7,6 et 5 cartes dans les quatre couleurs, ce qui laisse 5,6,7 et 8 pour les mains restantes, ou encore 7,7,7 et 5 ou 7,7,6 et 6 suivant que la couleur 4ème de la seconde main correspond à une couleur 4è, 3è ou 2nde de la première main. Ainsi, le résidu 8,7,6,5 cartes peut provenir de 2 mains initiales 4333 et 4432, ou 5422 et 4432, etc ... En sommant les pourcentages de ces différentes combinaisons initiales, on obtient celui des résidus possibles pour les 2 dernières mains, ce à quoi correspondent les derniers tableaux. La question 2 se résoud de manière identique, mais en faisant les calculs aussi avec une main régulière et une qui ne l'est pas et deux mains irrégulières. De plus, une fois connu la répartition par couleur des 26 cartes manquantes, il faut aussi envisager beaucoup plus de cas, surtout si l'une des 2 premières main est régulière et pas l'autre.

Détail des calculs

Distribution de la première main (probabilités initiales) Distributions de la seconde main associée Probabilités (toutes supérieures aux probab. initiales sauf la dernière) 4432 (21,551 %) 4432 23,07 % 5332 16,10 % 4333 11,61 % 5422 10,66 % 6322 05,32 % . Total 66,76 % 4333 (10,536 %) 4432 23,75 % 5332 16,28 % 4333 11,06 % 5422 10,69 % 6322 05,09 % . Total 66,87 % 5332 (15,517 %) 4432 22,36 % 5332 15,23 % 4333 11,06 % 5422 10,66 % 6322 05,43 % . Total 64,74 %   5422 (10,580 %)   4432 21,72 % 5332 15,63 % 4333 10,64 % 5422 10,64 % 6322 05,64 % . Total 64,27 %   6322 (5,642 %) 4432 20,32 % 5332 14,94 % 4333 09,50 % 5422 10,57 % 6322 05,70% . Total 61,03 %

Conclusion

En cumulant les deux premières mains, et en ne conservant que les répartitions qui peuvent donner lieu à 2 dernières mains régulières (par exemple, pas de couleur 10 ème ou pire, dans les 2 premières mains), on obtient en % des possibilités de départ :

Distributions combinées "abcd " des 2 premières mains régulières % de l'ensemble des couples de deux mains initiales qui permettent d'obtenir un résidu de type "abcd "avec la contrainte que les deux premières mains soient régulières Dont x % donnent des mains régulières ou semi-régulières pour les 2 dernières mains Le produit des 2 dernières colonnes est donc l'ensemble des donnes à 4 mains régulières issues d'un résidu "abcd ". (1) (2) (3) (4) = (2) * (3) . 9944 0,05 % 15,87 % 0,79 % 9854 1,08 % 26,46 0,29 % 9764 2,30 % 31,54 0,72 % 9755 2,11 % 33,69 0,71 % 9665 3,18 % 35,62 1,13 % 8864 1,66 % 42,97 0,71 % 8855 1,51 % 45,60 0,69 % 8774 2,34 % 48,46 1,13 % 8765 12,81 % 54,60 6,99 % 8666 3,21 % 57,38 1,84 % 7775 3,01 % 61,11 1,84 % 7766 6,79 % 64,68 4,39 % . Soit au total une probabilité d'avoir 4 mains régulières ou semi-régulières égale à 21,23 %

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